力学〜剛体の力学は最低これくらい覚えておけ!!〜

剛体の力学なんかむずくな〜い?

そうそう!文字がいっぱい出たり、回転のイメージがつかめんかったりして。

せっかく剛体の力学と友達になりたかったのに、難しくて友達になれないよ〜。

くーちん
「ねえ君はもう友達じゃない〜♪」

って歌ってますけど。

剛体の力学、略して剛力の「友達より大事な人」でした。

ではそんな剛体の力学をマスターして、友達より大事な存在にしましょう。

とは言っても、難しい証明とか詳しいことまで書くつもりは無く

「これさえ覚えておけばテストは大丈夫」

という最低限の知識を伝えられたらなーと思います。

物理とか数学の教科書ってめちゃくちゃわかりずらいじゃないですか?

実際そんなに難しくないのですが難しく見えてしまい、勉強にとっかかりにくいわけです。

なのでまず剛体の力学の全体概観がわかれば前に進めると思うんです。

剛体の力学はざっくり言ってどういうことを勉強するの?

それをまとめて見ました。どうぞ。

剛体の力学を一言で言うと、、

一言で言うと、、

形が全く変わらない剛体は、

比較的運動の記述がしやすく

特に回転に関して様々な特徴がある。

結局は普通の運動方程式回転の運動方程式からスタートし、エネルギー保存則も導く。あと特有の物理量「慣性モーメント」君が登場する。

また固定軸のあるなしで話が大きく変わり、

固定軸がある場合は簡単だが、ない場合はオイラーの方程式などを学ぶ、少しむずい。以上である

これらがわかってたらとりあえずは良い

剛体の自由度は6

とりあえず、剛体の自由度は6なんです!

ちなみにN個の質点なら自由度は3Nだね。

N個それぞれの座標が(x、y、z)で3つ必要だからね!!

そして、剛体は「運動方程式」と「回転の運動方程式」の2つのベクトル方程式があるから式の数は合計で3+3=6つ。だから解けます。

ってことをとりあえず知っておけば良い!!

回転の運動方程式

$$\frac{dL}{dt} = N$$

これが回転の運動方程式。

Lは角運動量のことで、

$$L = r\times mv = I\omega$$

とも書けます。よって回転の運動方程式は、

$$ I\frac{ \mathrm{d^2}\theta}{\mathrm{d}t^2} = N$$

とも書けます。

剛体の力学の試験で必ずといっていいほど出ます。

普通の運動方程式F=maとこの回転の運動方程式の

2つを立てて、問題を解くことが多いです。

慣性モーメントって何

平たく言えば、「回転のしにくさ」を表す値である。

慣性モーメントの値が大きければ大きいほど、回転しにくいということです。

慣性モーメントは

$$ I = \sum m_i r_i^2$$

で表されます。rは固定軸からの距離です。

慣性モーメントで重要なのは、

①よく出る物体の慣性モーメントを覚えること

②それ以外の慣性モーメントは平行軸の定理を使って求める

これが非常に重要です。

ここでは①の解説です。

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とりあえずこの3つは覚えておきましょう。

めちゃくちゃ使うんで!!

平行軸の定理

ある固定軸に関する慣性モーメントを求めたい!

平行軸の定理
Mを物体の質量、Ig を重心周りの慣性モーメント、Rを固定軸と重心との距離とすると、平行軸の定理は次のように表せる。

$$ I = I_g + MR^2$$

例として、円盤の端を固定して回転させましょう。

この場合慣性モーメントは下の通りになります。

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円盤の端を固定して回転させたほうが、回転しにくいのは感覚的にわかると思います。実際慣性モーメントは重心周りに比べ、大きくなるのがわかります。

剛体の運動エネルギー

質点の力学で、

運動エネルギーは、$$\frac{1}{2}mv^2$$です。

剛体では、さらに回転の運動エネルギーが加わります。

回転の運動エネルギーは、

$$\frac{1}{2}I\omega^2$$と表します。

なので剛体の力学では、運動エネルギーをKとおくと、

$$K = \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2$$

となります。

剛体の力学的エネルギー保存則

場に保存力しか働かない場合、

力学的エネルギーをE、ポテンシャルをU、運動エネルギーをKとおくと、

$$E = K + U=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2 + U =$$一定 となります。

オイラーの方程式

固定軸がなく、剛体の回転の向きが変わる場合、オイラーの方程式の出番である。

回転座標系を考える。すると

$$\frac{dL}{dt}=\frac{d’L}{dt}+ \omega \times L$$

よって回転の方程式が

$$\frac{d’L}{dt}+ \omega \times L = N$$

この時、慣性主軸というものを取れば計算が楽になる。

最終的にオイラーの方程式を成分表示すると、

$$I_{11}\dot{\omega_1}+(I_{33}-I_{22})\omega_2 \omega_3 = N_1$$

$$I_{22}\dot{\omega_2}+(I_{11}-I_{33})\omega_3 \omega_1 = N_2$$

$$I_{33}\dot{\omega_3}+(I_{22}-I_{11})\omega_1 \omega_2 = N_3$$

となります。

以上です。もちろん演習をしないと

テストでいい点は取れませんが、これで基本的な概念はほとんど伝えました。

剛体の力学は「大学の力学」で頻出なので、しっかり勉強することをお勧めします。

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