線形代数 〜行列式編〜

どうも京大生ブロガーくーちんです。
多くの大学生が挑む線形代数、その中でも超超重要な行列式の話です。

行列式とは?

正方行列Aに対し、ある規則に従って計算をした結果、出た値を行列式という。
その計算の規則をこれから勉強する。行列式は以下のように定義します。

$$
detA = | A | = \left| \begin{array} { l l l } { A _ { 11 } } & { A _ { 12 } } & { A _ { 13 } } \\ { A _ { 21 } } & { A _ { 22 } } & { A _ { 23 } } \\ { A _ { 31 } } & { A _ { 32 } } & { A _ { 33 } } \end{array} \right|
$$

流れとしては、

①2次正方行列と3次正方行列の行列式の求め方を暗記する

②行列式の定義(何次の行列でも適応する)を学ぶ

③4次以上を求め方を暗記

これで終わりです。

2次の行列式の求め方(簡単)

行列Aを

$$A=\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}$$

と定義すると行列式は、

$$|A| = ad – bc$$

となります。
f:id:kuutin:20180719191254p:plain
だから右下がりに掛け算をしたものadと、左下がりに掛け算をしたbcに-をつけて2つを足せば良いのです。
これは覚えましょう。0.1秒で出てくるぐらいにしましょう。

3次の行列式の求め方(サラスの公式)

$$\mathrm{det}A = |A| = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| =\\ a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{12}a_{23} \\- a_{13}a_{22}a_{31} – a_{12}a_{21}a_{33} – a_{11}a_{23}a_{32}$$

はあ?という感じだが、3次の行列式も2次のように、右下がりの矢印は”+” 左下がりの矢印は”-“の考えで求めることができる。これをサラスの公式と言う。それを今からここに晒す
f:id:kuutin:20180719193418p:plain
下に同じ行列があると想像して、矢印を引きます。右下がりの矢印は3つの成分を掛けただけで良いです。左下がりの矢印は3つの成分を掛けてさらにー(マイナス)をつけます。そして6つの矢印を合計して終わりです。
これも、慣れましょう!!

4次以上の行列式の求め方

まず行列式の定義を知ろう

n次正方行列
$$ A = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) $$

に対して行列式を

$$|A|=\sum_{\sigma\in Sn}sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}$$

と定義する

よくわからないと思いますが、あんまり使わないんでそこまで重要ではありません笑

かといって解説しないのは不親切なので、めっちゃ簡単に説明します(3次の行列で)

1行目から好きな要素を選びます。
2行目から1行目に選んだ要素と同じ列にはならない要素を選びます。
3行目から1行目と2行目に選んだ要素と同じ列にならない要素を選びます。

これは3次正方行列の場合6通りあります。

次に置換というものを列挙します。
1行目は何行目か、2行目は何列目を表しています。
$$ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right) $$
$$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 \end{array} \right) $$

そして1行目の2つの数字を入れ替える作業を考えます。
そして2行目の並びにすることを目標にします。

入れ替える作業が奇数回で終了するとき、奇置換と言います。
入れ替える作業が偶数回で終了するとき、偶置換と言います。
f:id:kuutin:20180822033806p:plain

では振り返り。
3つの要素を行も列も被らないように選びました。
この3つの要素を掛け合わせた数を、6通り全て足し合わせたのが行列式となります。

しかし奇置換の場合、マイナス(ー)がつきます。
偶置換の場合、プラス(+)がつきます。注意です。

よって3次正方行列の場合、
$$|A|= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{12}a_{23} \\- a_{13}a_{22}a_{31} – a_{12}a_{21}a_{33} – a_{11}a_{23}a_{32}$$
となるのです。
ちゃんと奇置換にはマイナスがついていますよね。

4次以上も同じ作業をすればいいのです。
しかし面倒だし、テストではあまり問われません。

4次以上は余因子を使って求める

まず公式から

$$|A|= a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}$$

これで求められます。
例として4次正方行列でiが1の時、つまり1行目に関する余因子展開で説明します。
余因子は下図で説明します。
f:id:kuutin:20180822040937p:plain
f:id:kuutin:20180822041100p:plain
f:id:kuutin:20180822041101p:plain

わかりましたか?
こうして、$$A_{12},A_{13},A_{14}$$も同様に求めます。
最後にそれぞれ余因子を同じ添字の要素と掛け合わせて足すだけです。
だから答えは

$$|A|= a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}+a_{14}A_{14}$$

となります。

行列式の重要性、使い道

行列式はたくさん出現する超頻出キャラです。

逆行列を求める時
ヤコビアン
連立1次方程式

などで出てきます。

また行列式は0か0でないで話が大きく変わってきます。
正方行列の行列式が0なら正則でない、0でないならば正則であると言います。
これも覚えたほうがいいでしょう。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です